A quanto ne so la zona di origine principale del cognome Castagnola si colloca tra le province di Genova e La Spezia, il fatto mi sembra confermato dalla forte diffusione locale del cognome e per il momento non ho trovato nulla che possa smentire questa affermazione.
In zona ci sono diversi toponimi legati per lo più alla presenza di boschi di castagni o di antichi mulini di castagne. Presumo che nella parlata locale il termine sia sinonimo di "castagneto".
Ci sono altri toponimi in provincia di Parma e Piacenza, però per quanto riguarda quello vicino Parma mi sento di dire che il borgo ha preso il nome dalla famiglia dei Conti di Castagnola, di origine còrso-ligure, e non viceversa. Veda quello che ho scritto più su.
Per i nuclei Castagnola di Napoli e di Catania mi sembra estremamente probabile l'origine ligure. Per quanto riguarda invece Paolo Emilio Castagnola, poeta della Scuola Romana, se non sbaglio è parente di Stefano Castagnola, di Chiavari, che è stato senatore, sindaco di Genova e ministro nel governo Lanza. Del resto c'era già un Paolo Emilio Castagnola a Lavagna nel '600 e la cosa mi sembra quanto meno sospetta.
Sull'origine ligure del nome legga anche questo
post precedente.
Può anche darsi che in Lombardia o nel canton Ticino ci sia qualcuno che abbia preso il nome dall'omonima località sul lago di Lugano, però non ho trovato alcun indizio in tal senso.